Regra de três simples e composta: como montar e resolver, com exemplos

Regra de três é o nome escolar para resolver uma proporção com um valor desconhecido. Antes de montar qualquer tabela, a pergunta que decide tudo é: as grandezas são direta ou inversamente proporcionais?

Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

• Diretas: quando uma dobra, a outra também dobra. A razão entre elas é constante: $\dfrac{y}{x} = k$. Exemplo: quantidade comprada e preço total.
• Inversas: quando uma dobra, a outra cai pela metade. O produto é constante: $x \cdot y = k$. Exemplo: velocidade e tempo de viagem para a mesma distância.

Nem toda relação é uma coisa ou outra. Idade e altura crescem juntas, mas não em proporção. Regra de três só vale quando a proporcionalidade é real.

Regra de três simples direta

Exemplo resolvido: 3 kg de café custam R$ 24. Quanto custam 5 kg?

1. Grandezas: massa e preço. Mais café, preço maior na mesma proporção: direta.
2. Monte a proporção: $\dfrac{3}{24} = \dfrac{5}{x}$.
3. Multiplique cruzado: $3x = 120$, logo $x = 40$.
4. Conferência: o quilo custa $24 \div 3 = 8$, e $5 \cdot 8 = 40$.

O passo 4 mostra o atalho mais seguro: encontrar o valor unitário e multiplicar.

Regra de três simples inversa

Exemplo resolvido: 6 pedreiros fazem um muro em 10 dias. Em quantos dias 4 pedreiros fazem o mesmo muro?

1. Menos pedreiros, mais dias: inversa.
2. Na inversa, o produto é constante: $6 \cdot 10 = 4 \cdot x$.
3. $60 = 4x$, logo $x = 15$ dias.

Se você montasse como direta, obteria $\dfrac{6}{10} = \dfrac{4}{x}$ e $x \approx 6{,}7$ dias. O resultado diz que menos gente termina antes, o que não faz sentido. Sempre teste o sentido da resposta.

Regra de três composta

Com três ou mais grandezas, compare cada grandeza com a que você procura, uma de cada vez, supondo as outras fixas. O valor procurado é o valor conhecido multiplicado por uma razão para cada grandeza, invertida quando a relação é inversa.

Exemplo resolvido: 8 máquinas produzem 1.200 peças em 5 dias. Quantas peças 12 máquinas produzem em 3 dias?

1. Grandeza procurada: peças.
2. Máquinas × peças: mais máquinas, mais peças (direta). Razão $\dfrac{12}{8}$.
3. Dias × peças: menos dias, menos peças (direta). Razão $\dfrac{3}{5}$.
4. Calcule:

Exemplo resolvido: 10 operários, trabalhando 6 horas por dia, terminam uma obra em 18 dias. Em quantos dias 15 operários, trabalhando 8 horas por dia, terminam a mesma obra?

1. Grandeza procurada: dias.
2. Operários × dias: mais operários, menos dias (inversa). Razão invertida: $\dfrac{10}{15}$.
3. Horas por dia × dias: mais horas por dia, menos dias (inversa). Razão invertida: $\dfrac{6}{8}$.
4. Calcule:

Conferência pelo total de horas-homem: $10 \cdot 6 \cdot 18 = 1080$ e $15 \cdot 8 \cdot 9 = 1080$. O trabalho total é o mesmo.

Erros comuns

1. Decidir direta ou inversa olhando para as outras grandezas ao mesmo tempo, e não para uma de cada vez.
2. Usar regra de três em relações que não são proporcionais, como área e lado.
3. Misturar unidades: horas com minutos, gramas com quilogramas.