MCM y MCD: métodos rápidos (factorización, divisiones sucesivas y Euclides)

El MCD (máximo común divisor) es el mayor entero que divide a todos los números dados. El MCM (mínimo común múltiplo) es el menor entero positivo que es múltiplo de todos ellos. Ambos aparecen en fracciones, en problemas de repetición y en divisiones en partes iguales.

Método 1: factorización en primos

Descompón cada número en factores primos.

• MCD: producto de los primos comunes, cada uno con el menor exponente.
• MCM: producto de todos los primos que aparecen, cada uno con el mayor exponente.

Ejemplo resuelto: 12 y 18

1. $12 = 2^2 \cdot 3$ y $18 = 2 \cdot 3^2$.
2. $\text{mcd} = 2^1 \cdot 3^1 = 6$.
3. $\text{mcm} = 2^2 \cdot 3^2 = 36$.
4. Comprobación: $6 \cdot 36 = 216 = 12 \cdot 18$.

Método 2: descomposición simultánea

Divide todos los números entre primos en orden, en la misma tabla, hasta que quede 1 en todos. El producto de todos los divisores es el MCM; el producto de los divisores que dividieron a todos los números a la vez es el MCD.

Ejemplo resuelto: 12, 18 y 30

1. $\text{mcm} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 180$.
2. $\text{mcd} = 2 \cdot 3 = 6$.

Método 3: algoritmo de Euclides

Con números grandes, factorizar es lento. Euclides usa que $\text{mcd}(a, b) = \text{mcd}(b, r)$, donde $r$ es el resto de $a \div b$. Repite hasta que el resto sea cero; el último divisor es el MCD.

Ejemplo resuelto: mcd(84, 36)

1. $84 = 2 \cdot 36 + 12$.
2. $36 = 3 \cdot 12 + 0$.
3. El resto es cero: $\text{mcd}(84, 36) = 12$.

Atajo: el mcm a partir del mcd

Para dos números positivos:

Con el ejemplo anterior: $\text{mcm}(84, 36) = \dfrac{84 \cdot 36}{12} = 7 \cdot 36 = 252$.

Problemas típicos

Ejemplo resuelto: dos autobuses salen juntos a las 8:00, uno cada 12 minutos y otro cada 18 minutos. ¿Cuándo vuelven a salir juntos?

1. Eventos que se repiten y coinciden: MCM.
2. $\text{mcm}(12, 18) = 36$.
3. Vuelven a salir juntos a las 8:36.

Ejemplo resuelto: dos cintas de 84 cm y 36 cm se cortarán en trozos iguales, del mayor tamaño posible, sin sobrantes. ¿Cuánto mide cada trozo y cuántos hay?

1. Mayor parte igual que divide a ambas: MCD.
2. $\text{mcd}(84, 36) = 12$ cm.
3. Trozos: $84 \div 12 + 36 \div 12 = 7 + 3 = 10$.

Errores comunes

1. En el MCD, incluir primos que no son comunes a todos los números.
2. Usar $\text{mcm} \cdot \text{mcd} = a \cdot b$ con tres o más números.
3. Confundir cuál pide el problema: coincidencia pide MCM; partes iguales piden MCD.