如何解一元二次方程：求根公式与韦达定理

一元二次方程的一般形式是 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$。有三种解法，选对方法能节省时间：不完全方程用因式分解，整数根用根与系数的关系，其余情况用求根公式。

不完全的一元二次方程

• $b = 0$：$x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$。
• $c = 0$：$x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x\,(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0$ 或 $x = 4$。

不要把 $x^2 - 4x = 0$ 两边同时除以 $x$：那样会丢掉根 $x = 0$。

求根公式

判别式 $\Delta$ 决定实根的个数：

例题：$x^2 - 5x + 6 = 0$

1. 系数：$a = 1$，$b = -5$，$c = 6$。
2. $\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$。
3. $x = \dfrac{5 \pm 1}{2}$，所以 $x_1 = 3$，$x_2 = 2$。

例题：$2x^2 + 3x - 2 = 0$

1. $a = 2$，$b = 3$，$c = -2$。
2. $\Delta = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$。
3. $x = \dfrac{-3 \pm 5}{4}$，所以 $x_1 = \dfrac{1}{2}$，$x_2 = -2$。
4. 验算：$2 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 + 3 \cdot \tfrac{1}{2} - 2 = \tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2} - 2 = 0$。

例题：$x^2 + 2x + 5 = 0$

1. $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$。
2. 没有实数根。在复数范围内，$x = \dfrac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$。

公式从哪里来

公式来自配方法。两边除以 $a$，再同时加上 $\left(\tfrac{b}{2a}\right)^2$：

两边开平方并解出 $x$，就得到求根公式。理解这一点，就能记住分母为什么是 $2a$ 而不是 $2$。

根与系数的关系（韦达定理）

设 $x_1$、$x_2$ 是 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两根：

例题：$x^2 - 7x + 12 = 0$

1. 两根之和 $= 7$，两根之积 $= 12$。
2. 积为 12 的数对：$(1, 12)$、$(2, 6)$、$(3, 4)$。只有 $(3, 4)$ 的和为 7。
3. 根为 $3$ 和 $4$。

例题：$x^2 + x - 6 = 0$

1. 两根之和 $= -1$，两根之积 $= -6$。积为负，说明两根异号。
2. 数对 $(2, -3)$ 的和为 $-1$，积为 $-6$。
3. 根为 $2$ 和 $-3$。

常见错误

1. 忘记 $b$ 带有符号：在 $x^2 - 5x + 6$ 中，$b = -5$，$-b = 5$。
2. 把 $-5^2$ 算成 $-25$，正确的是 $(-5)^2 = 25$。
3. 只用 $-b$ 除以 $2a$，漏掉了 $\pm\sqrt{\Delta}$。