比例问题（三数法则）：正比例、反比例与复比例例题

三数法则（regra de três）是求解含一个未知数的比例式的传统叫法。列式之前，先回答一个决定一切的问题：这些量成正比例还是反比例？

正比例与反比例

• 正比例：一个量加倍，另一个量也加倍。比值不变：$\dfrac{y}{x} = k$。例如购买数量和总价。
• 反比例：一个量加倍，另一个量减半。乘积不变：$x \cdot y = k$。例如路程相同时的速度和时间。

并非所有关系都属于这两种。年龄和身高一起增长，但不成比例。只有真正成比例时，三数法则才适用。

简单正比例

例题：3 千克咖啡 24 元，5 千克多少元？

1. 相关的量：质量和价格。咖啡越多，价格按同样比例增加：正比例。
2. 列比例式：$\dfrac{3}{24} = \dfrac{5}{x}$。
3. 交叉相乘：$3x = 120$，所以 $x = 40$。
4. 验算：每千克 $24 \div 3 = 8$ 元，$5 \cdot 8 = 40$。

第 4 步给出了最稳妥的方法：先求单价，再相乘。

简单反比例

例题：6 名工人砌一堵墙要 10 天，4 名工人砌同样的墙要几天？

1. 工人少了，天数变多：反比例。
2. 反比例中乘积不变：$6 \cdot 10 = 4 \cdot x$。
3. $60 = 4x$，所以 $x = 15$ 天。

如果误当作正比例，会得到 $\dfrac{6}{10} = \dfrac{4}{x}$，$x \approx 6.7$ 天，也就是人少反而完成得更快，这显然不合理。每次都要检查答案是否合理。

复比例

涉及三个或更多的量时，把每个量分别与要求的量比较，比较时假设其他量不变。未知量等于已知值乘以每个量对应的比；若为反比例，就把比倒过来。

例题：8 台机器 5 天生产 1200 个零件，12 台机器 3 天生产多少个？

1. 要求的量：零件数。
2. 机器与零件：机器越多，零件越多（正比例）。比为 $\dfrac{12}{8}$。
3. 天数与零件：天数越少，零件越少（正比例）。比为 $\dfrac{3}{5}$。
4. 计算：

例题：10 名工人每天工作 6 小时，18 天完成一项工程。15 名工人每天工作 8 小时，完成同样的工程需要几天？

1. 要求的量：天数。
2. 工人与天数：工人越多，天数越少（反比例）。倒过来的比：$\dfrac{10}{15}$。
3. 每天工时与天数：每天工作越久，天数越少（反比例）。倒过来的比：$\dfrac{6}{8}$。
4. 计算：

用总工时验算：$10 \cdot 6 \cdot 18 = 1080$，$15 \cdot 8 \cdot 9 = 1080$。总工作量相同。

常见错误

1. 同时看所有量来判断正反比例，而不是一次只比较一个。
2. 在不成比例的关系中使用三数法则，例如面积与边长。
3. 单位不统一：小时与分钟、克与千克混用。