单利与复利：区别、公式和例题

利息是资金的时间价格。单利和复利的区别在于：每一期的利率作用在哪个金额上。

记号：$P$ 为本金，$r$ 为每期利率（小数形式），$t$ 为期数，$I$ 为利息，$A = P + I$ 为本利和。

单利

利率始终只作用于本金，所以每期利息相同：

例题：1000 元，月利率 2%，存 12 个月

1. 小数形式的利率：$r = 0.02$。
2. 利息：$I = 1000 \cdot 0.02 \cdot 12 = 240$。
3. 本利和：$A = 1000 + 240 = 1240$。

复利

利率作用于上一期的本利和，也就是”利滚利”：

例题：同样 1000 元，月利率 2%，存 12 个月

1. 每月因子：$1.02$。
2. 本利和：$A = 1000 \cdot 1.02^{12} \approx 1000 \cdot 1.26824 \approx 1268.24$。
3. 利息：$I \approx 268.24$，比单利多 28.24 元。

对比

本金 1000 元，每期利率 10%：

单利的本利和按等差数列增长（每期加 100）；复利按等比数列增长（每期乘 1.1）。第一期两者相同，之后差距越来越大。

等价利率

两个利率在相同期限内使同一本金得到相同本利和，就称为等价利率。复利下：

例题：月利率 1% 相当于多少年利率？

1. $(1.01)^{12} \approx 1.1268$。
2. $r_{\text{年}} \approx 0.1268 = 12.68\%$。

把年利率除以 12 得到月利率，只在单利下成立。

用对数求期限

当时间是未知数时，两边取对数。

例题：年利率 10%，本金多久翻倍？

1. $P\,(1.1)^t = 2P \Rightarrow 1.1^t = 2$。
2. $t = \dfrac{\log 2}{\log 1.1} \approx \dfrac{0.3010}{0.0414} \approx 7.27$ 年。

“72 法则”可以快速估算：$72 \div 10 = 7.2$ 年。

常见错误

1. 把百分数直接代入公式（用 $2$ 而不是 $0.02$）。
2. 单位不一致：年利率配月数。
3. 复利利率换算时直接乘或除以 12。