Juros são o preço do dinheiro no tempo. A diferença entre simples e compostos está em sobre qual valor a taxa incide a cada período.

Notação usada: CC é o capital inicial, ii a taxa por período (na forma decimal), tt o número de períodos, JJ os juros e M=C+JM = C + J o montante.

Juros simples

A taxa incide sempre sobre o capital inicial. Os juros de cada período são iguais:

J=C⋅i⋅tM=C (1+i t)J = C \cdot i \cdot t \qquad M = C\,(1 + i\,t)

Exemplo resolvido: R$ 1.000 a 2% ao mês por 12 meses

  1. Taxa decimal: i=0,02i = 0{,}02.
  2. Juros: J=1000⋅0,02⋅12=240J = 1000 \cdot 0{,}02 \cdot 12 = 240.
  3. Montante: M=1000+240=1240M = 1000 + 240 = 1240.

Juros compostos

A taxa incide sobre o montante do período anterior, então juros geram juros:

M=C (1+i)tJ=M−CM = C\,(1 + i)^t \qquad J = M - C

Exemplo resolvido: os mesmos R$ 1.000 a 2% ao mês por 12 meses

  1. Fator de cada mês: 1,021{,}02.
  2. Montante: M=1000⋅1,0212≈1000⋅1,26824≈1268,24M = 1000 \cdot 1{,}02^{12} \approx 1000 \cdot 1{,}26824 \approx 1268{,}24.
  3. Juros: J≈268,24J \approx 268{,}24, ou seja, R$ 28,24 a mais que nos juros simples.

Lado a lado

Capital de R$ 1.000 a 10% por período:

PeríodoSimplesCompostos
01.0001.000
11.1001.100
21.2001.210
31.3001.331
102.0002.593,74

Nos simples, o montante cresce em progressão aritmética (soma 100 por período); nos compostos, em progressão geométrica (multiplica por 1,1). No primeiro período os dois coincidem; depois, a diferença só aumenta.

Taxas equivalentes

Duas taxas são equivalentes quando levam o mesmo capital ao mesmo montante no mesmo prazo. Nos juros compostos:

(1+iano)=(1+imeˆs)12(1 + i_{\text{ano}}) = (1 + i_{\text{mês}})^{12}

Exemplo resolvido: quanto é 1% ao mês em taxa anual?

  1. (1,01)12≈1,1268(1{,}01)^{12} \approx 1{,}1268.
  2. iano≈0,1268=12,68%i_{\text{ano}} \approx 0{,}1268 = 12{,}68\% ao ano.

Dividir a taxa anual por 12 só é correto nos juros simples.

Descobrir o prazo com logaritmo

Quando o tempo é a incógnita, aplique logaritmo dos dois lados.

Exemplo resolvido: em quanto tempo um capital dobra a 10% ao ano?

  1. C (1,1)t=2C⇒1,1t=2C\,(1{,}1)^t = 2C \Rightarrow 1{,}1^t = 2.
  2. t=log⁡2log⁡1,1≈0,30100,0414≈7,27t = \dfrac{\log 2}{\log 1{,}1} \approx \dfrac{0{,}3010}{0{,}0414} \approx 7{,}27 anos.

A “regra do 72” dá uma estimativa rápida: 72÷10=7,272 \div 10 = 7{,}2 anos.

Erros comuns

  1. Usar a taxa em porcentagem na fórmula (22 em vez de 0,020{,}02).
  2. Misturar unidades: taxa ao ano com prazo em meses.
  3. Converter taxa composta dividindo ou multiplicando por 12.

Perguntas frequentes

Juros simples ou compostos: qual rende mais?

Com a mesma taxa e prazo maior que um período, os compostos rendem mais. Em prazo menor que um período, os simples dão um valor um pouco maior.

Taxa de 1% ao mês equivale a 12% ao ano?

Só nos juros simples. Nos compostos, 1% ao mês equivale a 1,01¹² − 1 ≈ 12,68% ao ano.

Como calcular em quanto tempo um valor dobra a juros compostos?

Resolva (1 + i)^t = 2, ou seja, t = log 2 / log(1 + i). A 10% por período, t ≈ 7,27 períodos.

Onde os juros compostos aparecem no dia a dia?

Em investimentos com rendimento reinvestido, no cheque especial, no cartão de crédito e no cálculo de parcelas de financiamentos.